Matematicas II: noviembre 2014

4.1. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

$\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & \,x_3 & = & 1 \\ 2 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\ - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2 & - & \,x_3 & = & 0 \end{array} \right .$

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m \end{matrix}$

Donde

x_1,\dots,x_n

son las incógnitas y los números

a_{ij}\in\mathbb{K}

son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo

\mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]

. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz A se llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de términos independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.

4.1.1 DEFINICIÓN:

Una ecuación lineal con n incógnitas x₁, ..., x_n es una ecuación que se puede escribir en la forma a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... + a_nx_n = b (1), donde las a-es se llaman coeficientes de los x y el número b se llama término constante. Se asume que las a-es y la b son valores conocidos.

4.1.2 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: CONSISTE EN SU REPRESENTACIÓN PARAMEDRICA DEL CONJUNTO SOLUCIÓN:

Las descripciones en (5) y (7) son descripciones paramedicas de conjuntos solución en los cuales las ariables libres actuan como parámetros. la resolución de un sitema significa encontrar una descripción parametica del conjunto solución o determinar que el conjunto solución esta vació.

Cuando un sistema es consistente y tiene variables libres, el conjunto solucion permite obtener muchas descipciones parametricas. Por ejemplo, en el sistema (4) se podria sumar cinco veces la ecuacion 2 a la ecuacion 1 obtener el sistema equivalente.

x1 + 5x2 = 21

x2 +x3=4

podria tratarse a x2 como parámetro y despejar x1 y x3 en términos de x2 y se tendría una descripcion precisa del conjunto solución. sin embargo, para ser consistente, se establece la conversacion (arbitraria) de usar siempre las variables libres como parámetros para descibir un conjunto solución ( la sección de respuestas incluidas al final del texto refleja también esta convención)

cuando un sistema es inconsistente, el conjunto solución esta vacío, incluso si el sistema tiene variables libres. en este caso, el conjunto de solución no tiene representación.

4.1.3 MÉTODOS PARA RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES, MÉTODO GRÁFICOS IGUALACIÓN, SUSTITUCIÓN, ELIMINACIÓN ( SUMA Y RESTA)

sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.

Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
Para este paso hay dos opciones:
1. Se repite el proceso con la otra incógnita.
2. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de reducción:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:


   x + y = 600
2x - y = 0

Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará:


3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200

A partir de este momento es cuando se pueden aplicar caulquiera de las dos posibilidades descritas más arriba. Como en secciones anteriores ya hemos resuelto esta parte del problema sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a utilizar la otra posibilidad, es decir, vamos a terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del método de reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin tener que recurrir a ninguna sustitución.

Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema, equivalente al inicial:


  -2x - 2y = -1200
2x - y = 0

Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:


-3y = -1200 ⇒ y = 1200/3 ⇒ y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los métodos de sustitución e igualación.

En la próxima sección analizaremos el último método que nos queda por ver para resolver los sistemas de ecuaciones y que, además, es el único que no es analítico, sino gráfico.

4.1.4 SISTEMA DE ECUACIONES EQUIVALENTES:

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen el mismo conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.
Dos ecuaciones son iguales.
Una ecuación es proporcional a otra.
Una ecuación es combinación lineal de otras.

1 Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2 Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3 Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4 Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5 Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

4.1.5 ELIMINACION DE GAUSS Y GAUSS - JORDAN

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

Ir a la columna no cero extrema izquierda
Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga
Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él
Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)
Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida

POR EJEMPLO:

Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

\left \{ \begin{array}{rrrcr} 2x & + y & -z & = & 8 \\ -3x & - y & + 2z & = & -11 \\ -2x & + y & + 2z & = & -3 \\ \end{array} \right .

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
Intercambiar de posición dos ecuaciones
Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

\left \{ \begin{array}{rrrcr} 2x & + y & -z & = & 8 \\ & \frac{1}{2}y & + \frac{1}{2}z & = & 1 \\ & 2y & + z & = & 5 \end{array} \right .

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

\left \{ \begin{array}{rrrcr} 2x & & -2z & = & 6 \\ & \frac{1}{2}y & + \frac{1}{2}z & = & 1 \\ & & -z & = & 1 \end{array} \right .

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

\left \{ \begin{array}{rrrcr} 2x & & & = & 4 \\ & \frac{1}{2}y & & = & \frac{3}{2} \\ & & -z & = & 1 \end{array} \right .

Despejando, podemos ver las soluciones:

\left \{ \begin{array}{rrrcr} x & & & = & 2 \\ & y & & = & 3 \\ & & z & = & -1 \end{array} \right .

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:

Primero:

\left ( \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \end{array} \right )

Después,

\left ( \begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1/2 & 0 & 3/2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right )

Por último.

\left ( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right )

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Que representa la ecuación:

0x + 0y + 0z = 1

, es decir,

0 = 1

que no tiene solución.

4.1.5.1 DEFINICIÓN DE MATRIZ:

una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describirsistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

EJEMPLO:

Dada la matriz

A\in\mathcal{M}_{4\times 3}(\mathbb{R})

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \end{bmatrix}

es una matriz de tamaño

4\times 3

. La entrada

a_{23}\,\!

es 7.

La matriz

R\in\mathcal{M}_{1\times 9}(\mathbb{R})

R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

es una matriz de tamaño

1\times 9

: un vector fila con 9 entradas.

4.1.5.2 EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:

Dado un sistema de ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{array} \right.$

Se puede expresar de forma matricial de la siguiente manera:

$\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )$

La expresión anterior, de forma abreviada $A \cdot X = B$ , se llama expresión matricial del sistema. Las matrices se conocen como:

matriz de los coeficientes

matriz de las incógnitas

matriz de los términos independientes

Matriz ampliada

Se llama matriz ampliada (se representa por

) a la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes.

$A^* = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \right )$

Es frecuente expresar la matriz de los coeficientes (

) y la matriz ampliada (

) en una única expresión:

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )$

4.1.5.3 OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE RENGLONES:

Definición. Dada una matriz de orden n como la siguiente:

La diagonal que consta de los elementos

, . . . .

se llama diagonal principal de la matriz.

Definición. Una matriz cuadrada de tamaño

se dice que es idéntica, si los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y, los elementos situados por fuera de la diagonal principal son iguales a cero. Es decir, si es una matriz del siguiente tipo:

Esta matriz se denota por

Si A es una matriz de tamaño

y X es una matriz de tamaño

, entonces el producto escalar de A por X que se denota por AX es un vector columna b, de mcomponentes tal que el elemento

de b es el producto escalar del eliésimo renglón de A por el vector X.

Ejemplo 7.

. Entonces

En el ejemplo anterior

;

Operaciones elementales de reglón.

Dada una matriz A, de tamaño

, las siguientes tres operaciones se llaman operaciones elementales de renglón en la matriz A:

Multiplicar o dividir un renglón por un número diferente de cero.
Sumar el múltiplo de un renglón a otro renglón.
Intercambiar dos renglones.

El proceso de aplicar las operaciones elementales de renglón con el propósito de simplificar una matriz, se llama reducción por renglones.

En el proceso de aplicar operaciones elementales de renglón, se utilizará la siguiente notación:

, significa sustituir el iésimo renglón por el iésimo renglón multiplicando por C.
, significa que se sustituye el j-ésimo renglón por la suma del j-ésimo renglón más el iésimo renglón multiplicado por C.
, significa que se intercambian los renglones i y j.

Ejemplo 8.

La operación

da origen a la matriz

La operación

dá origen, si se parte de la matriz A, a la matriz

4.1.5.4 REDUCION DE GAUSS Y GAUSS JORDAN:

Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (a_ij=0 para cualquier $i \neq j$ ).

Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...ray}{r} 12 \\ 10 \\ -9 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a₄₄=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por $\frac{-3}{4}$ y la restamos a la primera:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...rray}{r} 8 \\ 10 \\ -9 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...array}{r} 8 \\ 8 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Ahora tomamos como pivote el elemento a₃₃=2, multiplicamos la tercera ecuación por $\frac{2}{2}=1$ y la restamos a la primera:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 0 ... ...rray}{r} 12 \\ 8 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Repetimos la operación con la segunda fila:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 0 ... ...ray}{r} 12 \\ 12 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Finalmente, tomamos como pivote a₂₂=-4, multiplicamos la segunda ecuación por $\frac{-2}{-4}$ y la sumamos a la primera:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & 0 & 0 &... ...rray}{r} 6 \\ 12 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación (46) obtenemos las soluciones:

$\begin{displaymath}x = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \end{displaymath}$

4.1.5.5 SISTEMAS HOMOGÉNEO:

Los sistemas homogéneos tienen los términos independientes nulos. Siempre tienen solución, son compatibles. Ejemplos de uso de rangos para la discusión y resolución de sistemas homogéneos.

4.2 ALGEBRA DE MATRICES:

Una matriz es una tabla rectangular de números (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y ndimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.

Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.

Normalmente se escribe external image cebc92fd9e524ce466def32d17daecce.png

para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

4.2.1 TIPOS DE MATICES (CUADRADA, RECTANGULAR, TRANSPUESTA):

Matriz antisimétrica:

Se trata de una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de la traspuesta.

Todos los elementos de la diagonal principal han de ser iguales a cero ya que no existe el

, existe el cero. No existe el menos cero ni el más cero. Es un concepto. Existe una pera o no existe una pera. No puede existir la

pera.

Conviene leer despacio para no liarnos.

Observa la matriz siguiente:

Se trata de una matriz antisimétrica porque

Comprueba y verás que los valores de las filas de la primera coinciden con los opuestos de los valores de las columnas de la segunda.

Ejercicio #5 Si trazamos una línea por la diagonal principal (eje de simetría) y doblásemos por ella el papel ¿coinciden los valores simétricos?
Respuesta: No, coinciden sus valores opuestos.

Matriz escalonada:

Se dice que una matriz es escalonada cuando al principio de una fila hay un cero más que en la fila anterior:

Al principio de la segunda fila hay un cero más que al comienzo de la fila anterior que es la primera.

Al comienzo de la tercera fila hay dos ceros, es decir, uno más que en la fila anterior que es la segunda.

Al comienzo de la cuarta fila hay tres ceros, es decir, uno más que en la fila anterior que es la tercera.

Ejercicio #6 ¿Son escalonadas la matrices A y B:

Respuesta: Sí. Los elementos nulos o ceros en nuestro caso, cuentan a partir del comienzo de cada línea.

Ejercicio #7 ¿Es escalonada la matriz:

Respuesta: No, porque al comienzo de la tercera fila hay 2 ceros, lo mismo que en la 2ª. Si en la 3ª hubiera tres, entonces sí sería escalonada.

Matriz diagonal:

Es la que todos sus elementos, excepto los que componen su diagonal principal son nulos o ceros:

Matriz identidad:

Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:

Matriz identidad:

Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:

Matriz triangular superior:

Es la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos:

Matriz triangular inferior:

Es la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos:

Existen otros tipos de matrices que proceden como resultado de operaciones entre ellas

4.2.2 OPERACIONES CON MATRICES:

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A = (a_ij) y B = (b_ij), se define la matriz suma como:

A + B = (a_ij + b_ij)

La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Ejemplo

4.2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES

1. Interna

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

2. Asociativa

A + (B + C) = (A + B) + C

3. Elemento neutro

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

4. Elemento opuesto

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

5. Conmutativa

A + B = B + A

4.2.4 MATRIZ INVERSA:

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I

Propiedades

1 (A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹

2 (A⁻¹)⁻¹ = A

3 (k · A)⁻¹ = k⁻¹ · A⁻¹

4 (A^t)⁻¹ = (A⁻¹)^t

4.3 DETERMINANTES:

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

4.3.1 DEFINICION DE UNA TERMINANTE:

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.

Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.

La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:

$\det(A) = \sum_{\sigma \in P_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}.\$

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σ_i. El conjunto de todas las permutaciones es P_n. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).

En cualquiera de los

n!

sumandos, el término

\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma_i}\

denota el producto de las entradas en la posición (i, σ_i), donde i va desde 1 hasta n:

a_{1, \sigma_1} \cdot a_{2, \sigma_2} \cdots a_{n, \sigma_n}.\

La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.

4.3.2 EXPANSIÓN POR COFACTORES:

En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.

Se llama menor del elemento a_ik de un determinante D de al determinante M_ik de orden que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D.

Ejemplo 1.

Obtener los menores M₁₃ y M₂₁ del determinante D de .

Para M₁₃ eliminamos el renglón 1 y la columna 3 para obtener

De la misma forma, se elimina el renglón 2 y la columna 1 para tener

Se llama cofactor del elemento a_ik del determinante D, al menor M_ik con el signo (-1)^i+ky se denota A_ik, esto es

4..3.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

Las propiedades de los determinantes, que enunciaremos a continuación, son válidas cualquiera que sea su orden. No obstante, para facilitar su comprensión, utilizaremos determinantes de orden 2 y 3. Las comprobaciones de las mismas se pueden hacer fácilmente desarrollando los determinantes.

1ª El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su traspuesta, es decir: Det ( A ) = Det ( A^t)

2ª Si intercambiamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo aunque son iguales en valor absoluto.

3ª Si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número k, su determinante queda multiplicado por dicho número.

Como generalización de esta propiedad, si multiplicamos todos los elementos de una matriz cuadrada de orden n por un número k, su determinante queda multiplicado por kⁿ, es decir: Det (k . A) = kⁿ . Det ( A ).

4ª El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de dichas matrices: Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ).

5ª Si una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una fila o columna nulos, su determinante es cero.

4.3.4 REGLA DEL CRAMER:

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor aGabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).¹

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.