UNIDAD 3: INTEGRACIÓN DEFINIDA

3.1 ÁREA BAJO LA CURVA:

Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
 Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica. 

f(x)= x² + 1
en el intervalo cerrado [1,5]

Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.

    Observa las siguientes gráficas: 
 

    Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.

    A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.

    Observa las siguientes animaciones.
 

    El valor exacto del área es: 
 

	136
Área =		aprox. igual	45.3333
	3

Definimos el área bajo la curva como:

Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.

3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO:

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.



3.3 PROPIEDAD DE LA INTEGRAL DEFINIDA: 

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

3.4 AREA ENTRE DOS Y UNA CURVA:

Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones  y , las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a,b]. Si las graficas están sobre el eje x y la grafica  esta debajo de la grafica , se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las graficas, es decir restar el área de la funcion  al área de la función , esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos.

Definición;

Si  y  son continuas en [a,b] y  ≤  para todo x en [a,b], entonces el area de la región acotada por las graficas  y  y las rectas verticales  y  es

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Conclusion:

Esta unidad me gusto elaborar las gráficas y mostrando el área contenida entre la gráfica y el eje x en el intervalo dado.